Bonjour, j'espère que quelqu'un pourra m'aider, je vous avoue que je
comrends vraiment pas grand chose à cet exercice
, ca fait 2 jours que j'essaye de comprendre mais je n'y arrive pas. Voilà
l'exercice :
Démontrer que racine carré de 3 est irrationnel :On établiera les résultats préliminaires suivants :- "Si p est un multiple de 3, alors p² est un multiple de 3"- "Si p² est un multiple de 3, alors pest un multiple de 3"Puis on tiendra un raisonnement par l'absurde.

si p est  un  multiple de 3 alors p = 3k  donc p² = 9k² = 3(3k²)  multiple de 3

si p² est multiple de 3  alors  p² = 3 k    supposons que  p  ne soit pas multiple de  3

alors  p = 3m +1  ou  p = 3m+ 2

si  p = 3m +1        p² = 9m² + 6m +1 = 3k  d'où   1 = 3k - 9m² -6m  = 3(k -3m² -2m)

1 serait multiple de 3

de même  si  p = 3m+2    p² =9m²  +12m+4 = 3 k           on aurait  4 multiple de 3

conclusion :
p est un multiple de 3 SI ET SEULEMENT SI  p² est  multiple de 3



supposons  que  √3   soit rationnel   alors   il s'écrirait  sous forme de fraction irréductible  p /q     et  3 = ( p/q)²       = p² /q²       donc p² =3q²
p² serait un multiple de  3
donc p  serait aussi un multiple de  3 et  on aurait
p=3k   d'où
9k² = 3q²
q² =3k²  donc q² serait  multiple de 3 
donc q serait AUSSI un multiple de 3
la fraction  p/q ne serait donc pas  irreductible 
ce qui contredit  l'hypothése  
conclusion  √3  n'est pas  rationnel