Bonjour, j'ai un dm de math à rendre pour la rentrée mais je bloque sur une question :

Soit (Un) la suite définie pour tout entier n par Uo=3 et Un+1= Un*0,8
Montrer que Sn=15(1-0,8^n+1)

Merci de votre aide !

Réponse :

Montrer que Sn = 15(1 - 0.8ⁿ⁺¹)

U0 = 3 et Un+1 = Un * 0.8   c'est une suite géométrique de raison q = 0.8

Sn = U0 + U1 + U2 + ....+ Un

     = 3 + 3 q + 3 q² + .... + 3 qⁿ

     = 3(1 + q + q² + .... + qⁿ)

or 1 + q + q² + .... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)   q ≠ 1

                                   = (1 - 0.8ⁿ⁺¹)/(1 - 0.8)

                                    = (1 - 0.8ⁿ⁺¹)/0.2

donc  on a Sn = 3(1 - 0.8ⁿ⁺¹)/0.2 = 15(1 - 0.8ⁿ⁺¹)

Explications étape par étape